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Ejercicio 1:

Sean $\Pi_1: x + 2y - 4z = 2$ y $\Pi_2: 2x - y + 2z = -6$. Una recta $L$ tal que $L \subset \Pi_1$ y $L \subset \Pi_2$ es

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Ejercicio 2:

Sean $A \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$, $b \in \mathbb{R}^{3 \times 1}$, $b \neq 0$. Si $v_1$ es solución de $Ax = b$ y $v_2$ es solución de $Ax = -b$, entonces una solución de $Ax = 0$ es

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Ejercicio 3:

Sea $A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$. Si $\det(A) = 1$, el determinante de la matriz $\begin{pmatrix} g & h & i \\ 2d & 2e & 2f \\ -a & -b & -c \end{pmatrix}$ es igual a

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Ejercicio 4:

Sean $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 3 & a^2 & 2 \\ 3 & 5 & 4 \end{pmatrix}$ y $b = \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$. El conjunto de todos los $a \in \mathbb{R}$ tales que el sistema $Ax = b$ es compatible indeterminado es

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Ejercicio 5:

Sean $\Pi: x - 2y + z = 14$, $L: X = \lambda(3,-1,2) + (1,2,3)$ y $P = (6,-2,8)$. La distancia entre $P$ y $L \cap \Pi$ es

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Ejercicio 6:

Sean $B = \{ V_1, V_2, V_3 \}$ y $B' = \{ V_1 + aV_2, V_2 - V_3, V_1 + bV_3 \}$ bases de un espacio vectorial $\mathbb{V}$. Si las coordenadas del vector $-3V_1 + 5 V_2 + 7V_3$ en la base $B'$ son $(2,3,-5)$, los valores de $a$ y $b$ son

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Ejercicio 7:

Sean $S = \langle (1,2,k),(2,k,10) \rangle$ y $T = \langle (1,3,5) \rangle$. El conjunto de todos los $k \in \mathbb{R}$ para los cuales $S + T = \mathbb{R}^3$ es

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Ejercicio 8:

Sean $S = \langle \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 7 & 0 \\ -5 & 5 \end{pmatrix} \rangle$ subespacio de $\mathbb{R}^{2 \times 2}$. La dimensión de $S$ es

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Ejercicio 9:

Sean $H = \{ x \in \mathbb{R}^4 | x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 \}$ y $S = \langle (0,0,1,-1) \rangle$. Un subespacio $T$ de $\mathbb{R}^4$ tal que $S \oplus T = H$ es 

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Ejercicio 10:

Si $S = \langle (1,-1,0) \rangle$ y $T = \{ x \in \mathbb{R}^3 | x_1 + x_2 - 4x_3 = 0 \}$ entonces $S^{\perp} \cap T$ es igual a

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Ejercicio 11:

Si $p: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ es un proyector tal que $p(3,-1) = (1,2)$, entonces $p(1,2)$ es

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Ejercicio 12:

Sean $B = \{ V_1, V_2, V_3 \}$ una base de un espacio vectorial $\mathbb{V}$ y $f: \mathbb{V} \to \mathbb{V}$ una transformación lineal tal que $f(V_1 - V_2) = V_3$, $f(V_2 + V_3) = V_1 + V_2$ y $f(V_3) = V_1$. Entonces, $f(V_1)$ es igual a

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Ejercicio 13:

Sea $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ la transformación lineal tal que $M(f) = \begin{pmatrix} -1 & 4 & a \\ 2 & 1 -a^2 & 6 \end{pmatrix}$. El conjunto de todos los $a \in \mathbb{R}$ tales que $f$ es un epimorfismo es

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Ejercicio 14:

Si $f: \mathbb{R}^5 \to \mathbb{R}^5$ es una transformación lineal tal que $\text{dim} (\text{Nu}(f) \cap \text{Im}(f)) = 2$, entonces $\text{dim} (\text{Nu}(f) + \text{Im}(f))$ es igual a

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Ejercicio 15:

Sean $B = \{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \}$ base de $\mathbb{R}^{2 \times 2}$ y $f: \mathbb{R}^{2 \times 2} \to \mathbb{R}^{2 \times 2}$ la transformación lineal tal que 

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Ejercicio 16:

Si $z^3 = 1 + i$ y $\text{Im}(z) < 0$, el argumento de $z$ es

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Ejercicio 17:

El conjunto de todos los autovalores de la matriz $A = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ es

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Ejercicio 18:

Sea $P(x) = (-2x^2 + ax + a^2)(x^3 + a^2 x + 5)$. El conjunto de todos los $a \in \mathbb{R}$ para los cuales $-1$ es raíz simple de $P$ es 

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Ejercicio 19:

Sea $B = \{ (1,2),(0,1) \}$ una base de $\mathbb{R}^2$ y sea $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ la transformación lineal tal que $M_{BE}(f) = \begin{pmatrix} a & 3 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}$. El valor de $a \in \mathbb{R}$ para el cual $(1,-1)$ es un autovector de $f$ es

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Ejercicio 20:

Sea $P(x) = x^4 + ax^3 +6x^2 -8x + b \in \mathbb{R}[x]$. Los valores de $a$ y $b$ en $\mathbb{R}$ para los cuales $2i$ es raíz de $P(x)$ son