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ÁLGEBRA 27 (EXACTAS) CBC
CÁTEDRA ÚNICA
Final A (2023)
Ejercicio 1:

Sean Π1:x+2y−4z=2\Pi_1: x + 2y - 4z = 2 y Π2:2x−y+2z=−6\Pi_2: 2x - y + 2z = -6. Una recta LL tal que L⊂Π1L \subset \Pi_1 y L⊂Π2L \subset \Pi_2 es


□\square L:X=λ(2,1,1)+(−2,0,−1)L: X = \lambda(2,1,1) + (-2,0,-1)

□\square L:X=λ(1,2,0)+(−2,−4,−3)L: X = \lambda(1,2,0) + (-2,-4,-3)

□\square L:X=λ(0,2,1)+(−2,2,0)L: X = \lambda(0,2,1) + (-2,2,0)

□\square L:X=λ(1,4,1)+(0,2,−2)L: X = \lambda(1,4,1) + (0,2,-2)

Ejercicio 2:

Sean A∈R3×3A \in \mathbb{R}^{3 \times 3}, b∈R3×1b \in \mathbb{R}^{3 \times 1}, b≠0b \neq 0. Si v1v_1 es solución de Ax=bAx = b y v2v_2 es solución de Ax=−bAx = -b, entonces una solución de Ax=0Ax = 0 es


□\square v1+v2v_1 + v_2

□\square v1−v2v_1 - v_2

□\square 2v1−v22v_1 - v_2

□\square v1−2v2v_1 - 2v_2

Ejercicio 3:

Sea A=(abcdefghi)A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}. Si det⁡(A)=1\det(A) = 1, el determinante de la matriz (ghi2d2e2f−a−b−c)\begin{pmatrix} g & h & i \\ 2d & 2e & 2f \\ -a & -b & -c \end{pmatrix} es igual a


□\square −12-\frac{1}{2}

□\square 12\frac{1}{2}

□\square 22

□\square −2-2

Ejercicio 4:

Sean A=(1−103a22354)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 3 & a^2 & 2 \\ 3 & 5 & 4 \end{pmatrix} y b=(a03)b = \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}. El conjunto de todos los a∈Ra \in \mathbb{R} tales que el sistema Ax=bAx = b es compatible indeterminado es


□\square R−{−1}\mathbb{R} - \{ -1 \}

□\square {−1,1}\{ -1 , 1 \}

□\square {−1}\{ -1 \}

□\square {1}\{ 1 \}

Ejercicio 5:

Sean Π:x−2y+z=14\Pi: x - 2y + z = 14, L:X=λ(3,−1,2)+(1,2,3)L: X = \lambda(3,-1,2) + (1,2,3) y P=(6,−2,8)P = (6,-2,8). La distancia entre PP y L∩ΠL \cap \Pi es


□\square 727\sqrt{2}

□\square 77

□\square 66

□\square 6\sqrt{6}

Ejercicio 6:

Sean B={V1,V2,V3}B = \{ V_1, V_2, V_3 \} y B′={V1+aV2,V2−V3,V1+bV3}B' = \{ V_1 + aV_2, V_2 - V_3, V_1 + bV_3 \} bases de un espacio vectorial V\mathbb{V}. Si las coordenadas del vector −3V1+5V2+7V3-3V_1 + 5 V_2 + 7V_3 en la base B′B' son (2,3,−5)(2,3,-5), los valores de aa y bb son


□\square a=4a = 4 y b=8b = 8

□\square a=1a = 1 y b=−2b = -2

□\square a=2a = 2 y b=4b = 4

□\square a=−3a = -3 y b=0b = 0

Ejercicio 7:

Sean S=⟨(1,2,k),(2,k,10)⟩S = \langle (1,2,k),(2,k,10) \rangle y T=⟨(1,3,5)⟩T = \langle (1,3,5) \rangle. El conjunto de todos los k∈Rk \in \mathbb{R} para los cuales S+T=R3S + T = \mathbb{R}^3 es


□\square {5,6}\{ 5, 6 \}

□\square {5}\{ 5 \}

□\square R−{5,6}\mathbb{R} - \{ 5,6 \}

□\square R−{5}\mathbb{R} - \{ 5 \}

Ejercicio 8:

Sean S=⟨(12−11),(−231−1),(70−55)⟩S = \langle \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 7 & 0 \\ -5 & 5 \end{pmatrix} \rangle subespacio de R2×2\mathbb{R}^{2 \times 2}. La dimensión de SS es


□\square 00

□\square 11

□\square 33

□\square 22

Ejercicio 9:

Sean H={x∈R4∣x1+x2+x3+x4=0}H = \{ x \in \mathbb{R}^4 | x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 \} y S=⟨(0,0,1,−1)⟩S = \langle (0,0,1,-1) \rangle. Un subespacio TT de R4\mathbb{R}^4 tal que S⊕T=HS \oplus T = H es 


□\square T=⟨(1,0,0,−1),(0,1,−2,1)⟩T = \langle (1,0,0,-1),(0,1,-2,1) \rangle

□\square T=⟨(1,0,0,−1),(0,1,2,1)⟩T = \langle (1,0,0,-1),(0,1,2,1) \rangle

□\square T=⟨(1,0,0,−1),(0,0,1,−1)⟩T = \langle (1,0,0,-1),(0,0,1,-1) \rangle

□\square T=⟨(1,0,0,−1)⟩T = \langle (1,0,0,-1) \rangle

Ejercicio 10:

Si S=⟨(1,−1,0)⟩S = \langle (1,-1,0) \rangle y T={x∈R3∣x1+x2−4x3=0}T = \{ x \in \mathbb{R}^3 | x_1 + x_2 - 4x_3 = 0 \} entonces S⊥∩TS^{\perp} \cap T es igual a


□\square ⟨(1,1,−4)⟩\langle(1,1,-4)\rangle

□\square ⟨(1,1,1)⟩\langle(1,1,1)\rangle

□\square ⟨(2,2,1)⟩\langle(2,2,1)\rangle

□\square {(0,0,0)}\{ (0,0,0) \}

Ejercicio 11:

Si p:R2→R2p: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 es un proyector tal que p(3,−1)=(1,2)p(3,-1) = (1,2), entonces p(1,2)p(1,2) es


□\square (0,0)(0,0)

□\square (3,−1)(3,-1)

□\square (2,−3)(2,-3)

□\square (1,2)(1,2)

Ejercicio 12:

Sean B={V1,V2,V3}B = \{ V_1, V_2, V_3 \} una base de un espacio vectorial V\mathbb{V} y f:V→Vf: \mathbb{V} \to \mathbb{V} una transformación lineal tal que f(V1−V2)=V3f(V_1 - V_2) = V_3, f(V2+V3)=V1+V2f(V_2 + V_3) = V_1 + V_2 y f(V3)=V1f(V_3) = V_1. Entonces, f(V1)f(V_1) es igual a


□\square V3V_3

□\square V2+V3V_2 + V_3

□\square V1+V2+V3V_1 + V_2 + V_3

□\square V1+V3V_1 + V_3

Ejercicio 13:

Sea f:R3→R2f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 la transformación lineal tal que M(f)=(−14a21−a26)M(f) = \begin{pmatrix} -1 & 4 & a \\ 2 & 1 -a^2 & 6 \end{pmatrix}. El conjunto de todos los a∈Ra \in \mathbb{R} tales que ff es un epimorfismo es


□\square {−3,3}\{ -3,3 \}

□\square {−3}\{ -3 \}

□\square R−{−3}\mathbb{R} - \{ -3 \}

□\square R−{−3,3}\mathbb{R} - \{ -3,3 \}

Ejercicio 14:

Si f:R5→R5f: \mathbb{R}^5 \to \mathbb{R}^5 es una transformación lineal tal que dim(Nu(f)∩Im(f))=2\text{dim} (\text{Nu}(f) \cap \text{Im}(f)) = 2, entonces dim(Nu(f)+Im(f))\text{dim} (\text{Nu}(f) + \text{Im}(f)) es igual a


□\square 33

□\square 22

□\square 11

□\square 44

Ejercicio 15:

Sean B={(1100),(2111),(0101),(11−10)}B = \{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \} base de R2×2\mathbb{R}^{2 \times 2} y f:R2×2→R2×2f: \mathbb{R}^{2 \times 2} \to \mathbb{R}^{2 \times 2} la transformación lineal tal que 


MB(f)=(1−1−11100−101−10001−1)M_B(f) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}. 

El núcleo de ff es

□\square {(0000)}\{ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \}

□\square ⟨(1111)⟩\langle \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \rangle

□\square ⟨(4402),(1111)⟩\langle \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \rangle 

□\square ⟨(4402)⟩\langle \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \rangle

Ejercicio 16:

Si z3=1+iz^3 = 1 + i y Im(z)<0\text{Im}(z) < 0, el argumento de zz es


□\square 1912π\frac{19}{12}\pi

□\square π12\frac{\pi}{12}

□\square 1712π\frac{17}{12}\pi

□\square 54π\frac{5}{4}\pi

Ejercicio 17:

El conjunto de todos los autovalores de la matriz A=(3−22101001)A = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} es


□\square {1,0,3}\{ 1,0,3 \}

□\square {1,2,3}\{ 1,2,3 \}

□\square {1,3}\{ 1,3 \}

□\square {1,2}\{ 1,2 \}

Ejercicio 18:

Sea P(x)=(−2x2+ax+a2)(x3+a2x+5)P(x) = (-2x^2 + ax + a^2)(x^3 + a^2 x + 5). El conjunto de todos los a∈Ra \in \mathbb{R} para los cuales −1-1 es raíz simple de PP es 


□\square {2}\{ 2 \}

□\square {−2,−1}\{ -2,-1 \}

□\square {−2,2}\{ -2,2 \}

□\square {−1,2}\{ -1,2 \}

Ejercicio 19:

Sea B={(1,2),(0,1)}B = \{ (1,2),(0,1) \} una base de R2\mathbb{R}^2 y sea f:R2→R2f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 la transformación lineal tal que MBE(f)=(a351)M_{BE}(f) = \begin{pmatrix} a & 3 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}. El valor de a∈Ra \in \mathbb{R} para el cual (1,−1)(1,-1) es un autovector de ff es


□\square 77

□\square 33

□\square −1-1

□\square 99

Ejercicio 20:

Sea P(x)=x4+ax3+6x2−8x+b∈R[x]P(x) = x^4 + ax^3 +6x^2 -8x + b \in \mathbb{R}[x]. Los valores de aa y bb en R\mathbb{R} para los cuales 2i2i es raíz de P(x)P(x) son


□\square a=−2,b=−8a = -2, b = -8

□\square a=2,b=−8a = 2, b = -8

□\square a=2,b=8a = 2, b = 8

□\square a=−2,b=8a = -2, b = 8


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